Bài 5 trang 24 SGK Giải tích 12

LG a

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: \(y =|x|\) ;

Phương pháp giải:

- Phá dấu giá trị tuyệt đối đưa hàm số về dạng khoảng.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y=\left| x \right|.\)

Ta có: 

\(y = |x| = \left\{ \begin{gathered}
x\text{ nếu }x \geqslant 0 \hfill \\
- x\text{ nếu }x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R.\)

\(y' = \left\{ \begin{array}{l}
1\,neu\,x > 0\\
- 1\,neu\,x < 0
\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt GTNN tại \(x=0;{\min }\,y=0.\)

LG b

\(\displaystyle y =x+{4\over x}\) \(\displaystyle ( x > 0)\).

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính đạo hàm và tìm nghiệm.

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y=x+\dfrac{4}{x}\ \ \ \left( x>0 \right).\)

Ta có: \(y'=1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-2\notin \left( 0;+\infty  \right) \\ & x=2\in \left( 0;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{Min}}\,y=4\ \ khi\ \ x=2.\)

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(y = x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  = 4 \) \(\Rightarrow y \ge 4 \)

\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 4\) khi \(x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2\).