Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,BC,CA là

\(\eqalign{
& AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr 
& BC:x + 3y + 7 = 0; \cr 
& CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \) 

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.

Lời giải chi tiết

Hai đường thẳng AB,BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ \matrix{
2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr 
x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\)

Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (5; - 2)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2;5)\)

Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2;5)\) của CA làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (2;5)\) là:

\(2.(x + 2) + 5.\left( {y + {5 \over 3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\)