Bài 11 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} } \right|\) bằng bao nhiêu ?

(A) \(2a\) ;                              (B) \(a\);

(C) \(a\sqrt 3 \);                            (D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AI} \).

\( \Rightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right|\)

Mà \(AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}}  \)\(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Nên \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} } \right| = 2AI = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Chọn (C).