Lý thuyết về mệnh đề

Lý thuyết về mệnh đề

Tóm tắt kiến thức:

1. Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà sự đúng đắn, hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.

Ví dụ: Câu "Số nguyên \(n\) chia hết cho \(3\)" không phải là mệnh đề, vì không thể xác định được nó đúng hay sai.

Nếu ta gán cho \(n\) giá trị \(n= 4\) thì ta có thể có một mệnh đề sai.

Nếu gán cho \(n\) giá trị \(n=9\) thì ta có một mệnh đề đúng.

3. Phủ định của một mệnh đề \(A\), là một mệnh đề, kí hiệu là \(\overline{A}\). Hai mệnh đề \(A\) và \(\overline{A}\) có những khẳng định trái ngược nhau.

Nếu \(A\) đúng thì \(\overline{A}\) sai.

Nếu \(A\) sai thì \(\overline{A}\) đúng.

4. Theo mệnh đề kéo theo

Mệnh đề kéo theo có dạng: "Nếu \(A\) thì \(B\)", trong đó \(A\) và \(B\) là hai mệnh đề. Mệnh đề "Nếu \(A\) thì \(B\)" kí hiệu là \(A \Rightarrow B\). Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo như sau:

Mệnh đề \(A \Rightarrow B\) chỉ sai khi \(A\) đúng và \(B\) sai.

5. Mệnh đề đảo

Mệnh đề "\(B\Rightarrow A\)" là mệnh đề đảo của mệnh đề \(A\Rightarrow B\).

6. Mệnh đề tưởng đương 

Nếu \(A\Rightarrow B\) là một mệnh đề đúng và mệnh đề \(B\Rightarrow A\) cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói \(A\) tương đương với \(B\), kí hiệu: \(A \Leftrightarrow B\).

Khi \(A \Leftrightarrow B\), ta cũng nói \(A\) là điều kiện cần và đủ để có \(B\) hoặc \(A\) khi và chỉ khi \(B\) hay \(A\) nếu và chỉ nếu \(B\).

7. Kí hiệu  \(∀\), kí hiệu \(∃\)

Cho mệnh đề chứa biến: \(P(x)\), trong đó \(x\) là biến nhận giá trị từ tập hợp \(X\).

- Câu khẳng định: Với \(x\) bất kì thuộc \(X\) thì \(P(x)\) là mệnh đề đúng được kí hiệu là:  \(∀ x ∈  X : P(x)\).

- Câu khẳng định: Có ít nhất một \(x ∈ X\) (hay tồn tại \(x ∈ X\)) để \(P(x)\) là mệnh đề đúng kí hiệu là \(∃ x ∈  X : P(x)\).