Giải mục 2 trang 45, 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \(\frac{{\sqrt 1 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{3},\frac{{\sqrt 3 }}{4},\frac{{\sqrt 4 }}{5},\frac{{\sqrt 5 }}{6},\frac{{\sqrt 6 }}{7},...\). Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số trên.

Phương pháp giải:

Quan sát tử và mẫu của các số hạng, tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu của số hạng với \(n\) tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của dãy là \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\).

Luyện tập 2

Tính năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}\)

Phương pháp giải:

Thay \(n = 1,2,...,5\) vào công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}\left( {1 + 1} \right)}}{{1 + 2}} = \frac{{ - 2}}{3}\), \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}\left( {2 + 1} \right)}}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\), \({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}\left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{5}\), \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}\left( {4 + 1} \right)}}{{4 + 2}} = \frac{5}{6}\), \({u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}\left( {5 + 1} \right)}}{{5 + 2}} = \frac{{ - 6}}{7}\).

Hoạt động 3

Viết dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ bé đến lớn trong phạm vi từ 1 đến 50.

Lời giải chi tiết:

Dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Hoạt động 4

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi các điều kiện sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {\left( {{u_{n - 2}}} \right)^2},\forall n \ge 3\end{array} \right.\)

Hãy viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Thay \(n = 3,4,...,6\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 2 + {1^2} = 3\),\({u_4} = 3 + {2^2} = 7\),\({u_5} = 7 + {3^2} = 16\), \({u_6} = 16 + {7^2} = 65\)

Luyện tập 3

Dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}}\end{array} \right.\)với \(n \ge 3\). Hãy viết mười số hạng đầu của dãy Fibonacci.

Phương pháp giải:

Thay \(n = 3,4,...,10\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 1,{u_3} = 1 + 1 = 2,{u_4} = 2 + 1 = 3,{u_5} = 3 + 2 = 5,{u_6} = 5 + 3 = 8,{u_7} = 8 + 5 = 13,{u_8} = 13 + 8 = 21,{u_9} = 21 + 13 = 34,{u_{10}} = 34 + 21 = 55\).

Hoạt động 5

\(\sqrt 2  = 1,41421352...\) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của \(\sqrt 2 \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê bảy số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Bảy số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1,4\\{u_2} = 1,41\\{u_3} = 1,414\\{u_4} = 1,4142\\{u_5} = 1,41421\\{u_6} = 1,414213\\{u_7} = 1,4142135\end{array}\)

Luyện tập 4

\(\pi  = 3,14159263589...\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của số \(\pi \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(2n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 3,14\\{u_2} = 3,1415\\{u_3} = 3,141592\\{u_4} = 3,14159263\\{u_5} = 3,1415926358\end{array}\)