Bài 79 trang 17 SBT toán 9 tập 1

Cho các số \(x\) và \(y\) có dạng: \(x = {a_1}\sqrt 2  + {b_1}\) và \(x = {a_2}\sqrt 2  + {b_2}\), trong đó \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ. Chứng minh: 

LG câu a

\(x + y\) và \(x . y\) cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với \(a\) và \(b\) là số hữu tỉ.

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với \(A\ge 0\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) 

Với \(B\ge 0,\, B\ne C^2\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B  \pm C}} = \dfrac{{A(\sqrt B  \mp C)}}{{B - {C^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr 
& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} \)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}\) cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

\(\eqalign{
& xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr 
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} \)

\( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})\)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}\), \(2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}\) cũng là số hữu tỉ. 

LG câu b

\( \displaystyle{x \over y}\) với \(y \ne 0\) cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với \(a\) và \(b\) là số hữu tỉ.    

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với \(A\ge 0\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) 

Với \(B\ge 0,\, B\ne C^2\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B  \pm C}} = \dfrac{{A(\sqrt B  \mp C)}}{{B - {C^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr 
& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr} \)

\( \displaystyle = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2  + {a_2}{b_1}\sqrt 2  - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

\( \displaystyle= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

Vì \(y \ne 0\) nên \({a_2}\) và \({b_2}\) không đồng thời bằng 0 

Suy ra: \(2{a_2}^2 - {b_2}^2\) \( \ne 0\)

(Nếu \(2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0\) thì  \( \displaystyle\sqrt 2 ={{{b_2}} \over {{a_2}}}\)  

Điều này mâu thuẫn với \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ)

Vậy \( \displaystyle{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\); \( \displaystyle{{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\) đều là số hữu tỉ.