Bài 46 trang 14 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau \(3\) giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc \(3\) giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc.

Lời giải chi tiết

Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ), thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ)

Điều kiện: \(x>0;y>0\)

Trong \(1\) giờ một cần cẩu lớn làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)

Trong \(1\) giờ một cần cẩu bé làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)

Hai cần cẩu lớn làm trong \(6\) giờ và \(5\) cần cẩu bé làm trong \(3\) giờ thì xong công việc nên ta có:

\(\displaystyle 6.2.{{1} \over x} + 5.3.{{1} \over y} = 1\)\(\Leftrightarrow \displaystyle{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1\)

Nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc. Do đó trong \(1\) giờ cả \(7\) cần cẩu làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) công việc, khi đó ta có phương trình:

\(\displaystyle{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1} \cr 
\displaystyle{{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a>0;b>0)\)

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr 
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr 
{12a + 30b =\displaystyle {3 \over 2}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr 
{2a + \displaystyle 5.{1 \over {30}} = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over {24}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)

Suy ra:  

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {24}}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {30}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 24} \cr 
{y = 30} \cr} } \right.\text{(thỏa mãn)} \)

Vậy một cần cẩu lớn làm một mình trong \(24\) giờ thì xong công việc, một cần cẩu nhỏ làm một mình trong \(30\) giờ thì xong công việc.