Bài 4.56 trang 174 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) f(x) xác định trên R\ {1} ,

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\)

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(\displaystyle f\left( x \right) = {{2{x^2} + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) ta có:

+) Hàm số xác định trên R\{1}

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} + 1} \right) = 3 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} > 0,\forall x \ne 1\end{array} \right.\)

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) =  + \infty \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2}\left( {2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 + 0}}{{{{\left( {1 - 0} \right)}^2}}} = 2\end{array}\)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\)

Vậy \(f\left( x \right)\) là một hàm số thỏa mãn bài toán.