Bài 4.48 trang 173 SBT đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

LG a

\({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán

Lời giải chi tiết:

Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\)       (1)

Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)

Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)

Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

LG b

\({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}=v_n\)

\(\lim \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\) \( = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\)

\( \Rightarrow {v_n} = \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}}\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ một số hạng nào đó trở đi

\( \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) cũng nhỏ hơn một số dương bé tuy ý từ một số hạng nào đó trở đi

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 0\) (theo định nghĩa)