Bài 4.55 trang 173 SBT đại số và giải tích 11

Tìm các giới hạn sau:

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} \over {4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)\left( {4 - \sqrt {{x^2} + 16} } \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{x^2} + 1 - 1} \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)\left( {16 - {x^2} - 16} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)\left( { - {x^2}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 + \sqrt {{x^2} + 16} }}{{ - \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{4 + \sqrt {0 + 16} }}{{ - \left( {\sqrt {0 + 1}  + 1} \right)}} \\=  - 4\end{array}\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - \sqrt x } \over {\sqrt x  - 1}}\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt x  = \sqrt 1  = 1\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2{x^4} + 5x - 1} \over {1 - {x^2} + {x^4}}}\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{2{x^4} + 5x - 1}}{{1 - {x^2} + {x^4}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{{x^4}\left( {2 + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right)}}{{{x^4}\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{2 + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^4}}}}}{{\dfrac{1}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1}}\\ = \dfrac{{2 + 0 - 0}}{{0 - 0 + 1}} = 2\end{array}\)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} } \over {1 - 2x}}\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + \left| x \right|\sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - x\sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 - \sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{1}{x} - 2}}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt {4 - 0 + 0} }}{{0 - 2}}\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

LG e

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{x}{{x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 0}  + 1}}\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

LG f

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right)\)

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định và tính các giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 - \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ - x - 1} \over {{x^2} - 4}} = - \infty \cr} \)