Bài 4.50 trang 173 SBT đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

LG a

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n.     (1)

-  Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)

-  Giả sử  (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)

-  Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.

LG b

Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Phương pháp giải:

Đặt \(\lim u_n =a\) rồi thay vào công thức truy hồi tìm \(a\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr 
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr 
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr 
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)

Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \).