Bài 4.47 trang 172 SBT đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau

LG a

\(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\lim \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}}}{{1 - {5^n}}}\\
= \lim \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 2}}{{\dfrac{1}{{{5^n}}} - 1}}\\
= \dfrac{{0 + 2}}{{0 - 1}} = - 2
\end{array}\)

LG b

\(\displaystyle \lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Tính tổng trên tử thức và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\lim \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + n + 1}}\\
= \lim \dfrac{{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + n + 1}}\\
= \lim \dfrac{{{n^2} + n}}{{2\left( {{n^2} + n + 1} \right)}}\\
= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{2\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\\
= \dfrac{{1 + 0}}{{2\left( {1 + 0 + 0} \right)}} = \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

LG c

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1}  - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)

Phương pháp giải:

Nhân chia với biểu thức liên hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\\
= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2} - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 1} + \sqrt {{n^2} + n - 1} }}\\
= \lim \dfrac{{n + 2}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 1} + \sqrt {{n^2} + n - 1} }}\\
= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{2}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} }}\\
= \dfrac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + \sqrt {1 + 0 - 0} }}\\
= \dfrac{1}{2}
\end{array}\)