Bài 4.51 trang 173 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \({u_n} < M\) với mọi n. Chứng minh rằng nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \le M\)

Lời giải chi tiết

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = M - {u_n}\)

\({u_n} < M\) với mọi n \(\Rightarrow {v_n} > 0\) với mọi n.           (1)

Mặt khác, \(\lim {v_n} = \lim \left( {M - {u_n}} \right) = M - a\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M - a \ge 0\) hay \(a \le M\).