Bài 4.18 trang 105 SBT đại số 10

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{1 - x}}\) trên khoảng \((0,1)\)

A. min \(y = 4\)           B. min \(y = 2\)

C. min\(y = \dfrac{1}{2}\)          D. min \(y = 16\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{1 - x + x}}{x} + \dfrac{{1 - x + x}}{{1 - x}}\\
= \dfrac{{1 - x}}{x} + 1 + 1 + \dfrac{x}{{1-x }}\\
= \left( {\dfrac{{1 - x}}{x} + \dfrac{x}{{1-x }}} \right) + 2\\
\ge 2\sqrt {\dfrac{{1 - x}}{x}.\dfrac{x}{{1-x }}} + 2\\
= 2.1 + 2 = 4\\
\Rightarrow y \ge 4 \Rightarrow \min y = 4
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Leftrightarrow 1 - x = x \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

Cách khác:

Thử đáp án: Do \(0 < x < 1\) nên \(\dfrac{1}{x} > 1,\dfrac{1}{{1 - x}} > 1\) \( \Rightarrow y > 2,\forall x \in D\)

Vậy B và C sai

Khi \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(y = 4\), vậy D sai

Vậy đáp án A đúng.