Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
LG a
Viết năm số hạng đầu của dãy số
Phương pháp giải:
Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.
Lời giải chi tiết:
Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)
LG b
Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}.\)
LG c
Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)
Phương pháp giải:
Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .
Lời giải chi tiết:
Do \(\left( {{y_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)
Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).
Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)