Bài 3.40 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right) :\)

 \({\rm{                         }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ voi n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu là \(1,2,4,7,11.\)

LG b

Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức truy hồi của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Từ công thức xác định dãy số ta có

\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có

\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2.{\rm{                                  }}\left( 2 \right)\)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1,\) công sai \(d = 1.\)

LG c

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Phương pháp giải:

Tính \({v_1},{v_2},...,{v_{n - 1}}\) rồi cộng các kết quả, rút gọn suy ra \({u_n}\).

Lời giải chi tiết:

Để tính \({u_n},\) ta viết

\(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}\)

Cộng từng vế \(n - 1\) hệ thức trên và rút gọn, ta được

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\)\( = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\)  \( = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)