Bài 18 trang 105 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vẽ đường cao \(AH\). Chu vi của tam giác \(ABH\) là \(30cm\) và chu vi của tam giác \(ACH\) là \(40cm\). Tính chu vi của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(a,  b, c\) lần lượt là chu vi của các tam giác \(ABC\), \(ABH\), \(ACH\).

Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\) 

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CHA\), ta có: 

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))

Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra: \(\dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)\( = \dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{{HB + HA + BA} }{{HA + HC + AC}} = \dfrac{b}{c}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{{30}}{{40}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{{AC}}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}}\)\( = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{25}}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) 

Suy ra:

\(\dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{25}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BA} }{3} = \dfrac{{AC}}{ 4} = \dfrac{{BC}}{5}\)

Ta có các tam giác \(ABH, CAH, CBA\) đồng dạng với nhau nên:

\(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\) 

Suy ra: \(\dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{ 4} = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{3} = \dfrac{{40}}{4} = \dfrac{a}{5}\)\( \Rightarrow a = \dfrac{{30}}{3}.5 = 50\left( {cm} \right)\)