Bài 1.24 trang 31 SBT hình học 10

Đề bài

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Ta có:

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A'} \)

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'} \)

\(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} \).

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được:

\(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)\( = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right)\) \( + 3\overrightarrow {GG'}  + \left( {\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} } \right)\)\( = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow 0  = 3\overrightarrow {GG'} \) 

Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(G \equiv G'\).

Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\)có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \).