Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 4 - Đại số 10

Đề bài

Chọn phương án đúng

Câu 1. Giá trị của biểu thức \(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ  + 2{\cos ^2}60^\circ  - 3{\tan ^2}45^\circ \) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)                           

B. 3                                

C. 1                                

D. \( - \dfrac{1}{2}\)

Câu 2. Giá trị của biểu thức \(S = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\sin ^2}87^\circ \) bằng

A. 1                            

B. 2                                

C. 3                                

D. 4

Câu 3. Cho \(\cot \alpha  = 2\) . Giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}\) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)                          

B. \( - \dfrac{1}{2}\)                          

C. -2                              

D. 2

Câu 4. Nếu \(\tan \alpha  + \cot \alpha  =  - 2\) thì \({\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha \) bằng

A. -4                          

B. -3                              

C. -2                              

D. -1

Câu 5. Giá trị của biểu thức \(T = \tan 9^\circ  - \tan 27^\circ  - \tan 63^\circ  + \tan 81^\circ \) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)                         

B. \(\sqrt 2 \)                           

C. 2                              

D. 4

Câu 6. Cho \(A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\) . Khi đó, khẳng định nào sao đây đúng

A. \(A = 1\)                   

B. A = 2                         

C. \(A = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\)        

D. \(A = 2{\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\)

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \sqrt 3 \cos x\) đạt được khi x bằng

A. \(\pi \)                            

B. \(\dfrac{\pi }{3}\)                             

C. \(\dfrac{{2\pi }}{3}\)                            

D. \( - \dfrac{\pi }{6}\)

Câu 8. Nếu \(\alpha \) là góc nhọn và \(\sin 2\alpha  = m\) thì \(\sin \alpha  + \cos \alpha \) bằng

A. \(\sqrt {m + 1} \)                    

B. \( - \sqrt {m + 1} \)                    

C. \(1 + m\)                        

D. \(-1 – m\)

Câu 9. Tam giác ABC có \(\cos A = \dfrac{4}{5},cosB = \dfrac{5}{{13}}\) . Khi đó \(\cos C\) bằng

A. \(\dfrac{{56}}{{65}}\)                         

B. \(\dfrac{{16}}{{65}}\)                             

C. \( - \dfrac{{56}}{{65}}\)                         

D. \(\dfrac{{63}}{{65}}\)

Câu 10. Nếu \(0^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) và \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\) thì \(\tan \alpha  =  - \dfrac{{m + \sqrt n }}{3}\) với cặp số nguyên (m, n) là

A. \((4;7) \)                    

B. \((-4;7) \)                         

C. \((8;7)\)

D. \((8;14)\)

Lời giải chi tiết

Câu 1. D

\(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ  + 2{\cos ^2}60^\circ  - 3{\tan ^2}45^\circ \)\(\, = 3 - 1 + \dfrac{1}{2} - 3 =  - \dfrac{1}{2}\).

Câu 2. B

\(S = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\sin ^2}87^\circ \)

\(\;\;\; = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}15^\circ  + {\cos ^2}3^\circ  = 2\)

Câu 3. C

Ta có \(\cot \alpha  = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2 \)

\(\Rightarrow \cos \alpha  = 2\sin \alpha \).

Suy ra

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{2\sin \alpha  + 6\sin \alpha }}{{2\sin \alpha  - 6\sin \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{8\sin \alpha }}{{ - 4\sin \alpha }} =  - 2\end{array}\).

Câu 4. C

\({\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha  \)

\(= {\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)\)

\(=  - 8 + 6 =  - 2\).

Câu 5. D

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = \tan 9^\circ  - \tan 27^\circ  - \tan 63^\circ  + \tan 81^\circ \\ \;\;\;\,= \left( {\tan 9^\circ  + \tan 81^\circ } \right) - \left( {\tan 27^\circ  + \tan 63^\circ } \right)\end{array}\)

\(\;\;\; \;= \dfrac{{\sin 9^\circ \cos 81^\circ  + \sin 81^\circ \cos 9^\circ }}{{\cos 9^\circ \cos 81^\circ }} - \dfrac{{\sin 27^\circ \cos 63^\circ  + \sin 63^\circ \cos 27^\circ }}{{\cos 27^\circ \cos 63^\circ }}\)

\(\;\;\;\; = \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 72^\circ } \right)}} - \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 36^\circ } \right)}}\)

\(\;\;\;\;= \dfrac{2}{{\cos 72^\circ }} - \dfrac{2}{{\cos 36^\circ }}\)

\(\;\;\;\; = \dfrac{{2\left( {\cos 36^\circ  - \cos 72^\circ } \right)}}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }}\)

\(\;\;\;\;= \dfrac{{4\sin 54^\circ \sin 18^\circ }}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }} = 4\)

Câu 6. A

\(\begin{array}{l}A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{3\pi }}{7}} \right)\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{{14}} = 1\end{array}\).

Câu 7. D

Ta có:

\(T = {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \sqrt 3 \cos x \)

\(\;\;\;\;= 2\left( {\dfrac{1}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \;\;\;\;= 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right)\\ \;\;\;\;= 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - 1\). Chọn \(x =  - \dfrac{\pi }{6}\).

Câu 8. A

Ta có

\({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} \)

\(= {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  \)

\(= 1 + \sin 2\alpha  = 1 + m\).

Do \(\alpha \) là góc nhọn nên \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 0\).

Vậy \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt {1 + m} \).

Câu 9. B

Ta có \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{9}{{25}}\).

Mà \(\sin A > 0\) nên \(\sin A = \dfrac{3}{5}\).

Tương tự \(\sin {\bf{B}} = \dfrac{{12}}{{13}}\).

Suy ra

\(\cos C =  - \cos \left( {A + B} \right) \)

\(= \sin A\sin B - \cos A\cos B \)

\(= \dfrac{{36}}{{65}} - \dfrac{{20}}{{65}} = \dfrac{{16}}{{65}}\).

Câu 10. A

Ta có:

\(1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  \)

\(= {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\dfrac{1}{2} - \sin \alpha } \right)^2} \)

\(= 2{\sin ^2}\alpha  - \sin \alpha  + \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \sin \alpha  - \dfrac{3}{4} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{1 \pm \sqrt 7 }}{4}\)

Mà \(0^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha  > 0\). Chọn \(\sin \alpha  = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).

Suy ra \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).

Vậy \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{1 - 7}} =  - \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}\).