Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 1 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Không dùng bảng hay máy tính cầm tay, chứng minh rằng

\(\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 1\) .

Câu 2. Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\) . Tính \({\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \)

Lời giải chi tiết

Câu 1. Ta có:

\({\left( {\sin 15^\circ  + sin75^\circ } \right)^2}\)

\(= {\left( {\sin 15^\circ  + \cos 15^\circ } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}15^\circ  + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ \\ = 1 + \sin 30^\circ  = \dfrac{3}{2} > 1\end{array}\)

Mà \(\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 0\) nên suy ra \(\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 1\).

Câu 2.

Ta có: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2} \)

\(\Rightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{3}{8}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \\= {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\\ = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{{11}}{6}.\end{array}\)