Câu hỏi 1 trang 101 SGK Giải tích 12

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1, x = t\) \((1 \le t \le 5)\) (H.45).

LG a

Tính diện tích S của hình T khi \(t = 5 \) (H.46).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang \(ABCD (AB//CD)\) là:\(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

(Hình 46)

Kí hiệu \(A\) là điểm có tọa độ \((1,0), D\) là điểm có tọa độ \((5,0)\). \(B, C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 5\) với đường thẳng \(y = 2x + 1\).

- Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1,3) và (5,11).

- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang:

\(\displaystyle ABCD = {{(AB + CD).AD} \over 2} = 28\)

LG b

Tính diện tích S(t) của hình T khi \(x ∈ [1; 5]\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang \(ABCD (AB//CD)\) là:\(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (t,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = t với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).

- Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.

- Khi đó diện tích hình thang:

\(\displaystyle S(t) = {{(AB + CD).AD} \over 2} \) \(\displaystyle= {{(3 + 2t + 1).(t - 1)} \over 2} \) \(= {t^2} + t - 2\)

Do đó \(S(t)= {t^2} + t - 2\)

LG c

Chứng minh rằng \(S(t)\) là một nguyên hàm của \(f(t)=2t+1, t\in [1;5]\) và diện tích \(S=S(5)-S(1)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang \(ABCD (AB//CD)\) là:\(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(S'(t)= ({t^2} + t - 2)'\) \(=2t+1\) nên hàm số \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t)=2t+1, t\in [1;5]\).

Dễ thấy \(S(5)-S(1)\) \(=\left( {{5^2} + 5 - 2} \right) - \left( {{1^2} + 1 - 2} \right) \) \(= 28 = S\) hay \(S=S(5)-S(1)\).