Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

LG a

\(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);        

Phương pháp giải:

\(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}}} \right|_0^1\\= \left. {\dfrac{2}{{15}}.{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right|_0^1 = \dfrac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right) = \dfrac{2}{{15}}.31 = \dfrac{{62}}{{15}}\end{array}\)

LG b

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

+) Chia tử số cho mẫu số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}\)

LG c

\(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

c) Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{1 + x}}dx\\v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\)