Câu 8 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e^2tanx và y = log₂(sinx)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\begin{array}{l}
\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}\\
\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}
\end{array}\)

Kết hợp với các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

\(\eqalign{
& y' = (\cos x.{e^{2\tan x}})' \cr &  = \left( {\cos x} \right)'{e^{2\tan x}} + \cos x\left( {{e^{2\tan x}}} \right)'\cr &= - \sin x{.e^{2\tan x}} + \cos x.{2 \over {{{\cos }^2}x}}.{e^{2\tan x}} \cr 
& = {e^{2\tan x}}({2 \over {\cos x}} - \sin x) \cr 
& y' = ({\log _2}(\sin x))'  = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x\ln 2}}\cr &= {{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 2}} = {{\cot x} \over {\ln 2}} \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng hàm số y = e^4x + 2e^-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0

Phương pháp giải:

Tính y', y'', y''' thay vào đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

y’ = (e^4x + 2e^-x)' = 4.e^4x – 2e^-x

^y’’ = (4.e^4x – 2e^-x)'=16.e^4x + 2e^-x

y’’’  = (16.e^4x + 2e^-x)' =64.e^4x – 2e^-x

Suy ra: y’’’ – 13y’ – 12y

= 64e^4x – 2e^-x – 13(4e^4x - 2e^-x ) – 12(e^4x + 2e^-x )

= 64e^4x – 2e^-x – 42e^4x +26e^-x – 12e^4x - 24e^-x

= 0