Câu 7 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab thì 

\({\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}(\log_7a + \log _7b)\)

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương đẳng thức càn CM đưa về đẳng thức luôn đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}(\log_7a + \log _7b) \cr 
& \Leftrightarrow 2\log _7{{a + b} \over 3} = {\log _7}(ab) \cr 
& \Leftrightarrow {({{a + b} \over 3})^2} = ab \cr 
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 9ab \cr &\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 7ab\,\,(đpcm) \cr} \)

LG b

Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho \(\log _ab = \sqrt 3 \). Hãy tính \({\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\\
{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\\
{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }} \cr &= {{{{\log }_a}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}} \over {{{\log }_a}a\sqrt b }} = {{{{\log }_a}\root 3 \of a - {{\log }_a}\sqrt {{b^3}} } \over {{{\log }_a}a + {{\log }_a}\sqrt b }} \cr 
&  = \frac{{{{\log }_a}{a^{\frac{1}{3}}} - {{\log }_a}{b^{\frac{3}{2}}}}}{{1 + {{\log }_a}{b^{\frac{1}{2}}}}}\cr &= {{{1 \over 3} - {3 \over 2}{{\log }_a}b} \over {1 + {1 \over 2}{{\log }_a}b}} = {{{1 \over 3} - {3 \over 2}\sqrt 3 } \over {1 + {1 \over 2}\sqrt 3 }} \cr 
& = {{2 - 9\sqrt 3 } \over {6 + 3\sqrt 3 }} \cr} \)