Câu 12 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau

LG a

y = x³ (1 + x⁴)³

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến u = 1 + x⁴

Lời giải chi tiết:

Đặt u = 1 + x⁴

\(\eqalign{
& \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4} \cr 
& \int {{x^3}(1 + {x^4})dx = {1 \over 4}} \int {{u^3}du} \cr &= {{{u^4}} \over {16}} + C \cr&= {1 \over {16}}{(1 + {x^4})^4} + C \cr} \) 

LG b

y = cosx sin2x

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\int {\sin 2x.\cos xdx = {1 \over 2}} \int {(\sin3x +\sin x)dx}\) \( = \frac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 3x}}{3} - \cos x} \right) + C\)

\(=  - {1 \over 6} \cos 3x - {1 \over 2}\cos x + C\)

Cách khác:

Tìm F(x) = ∫cosx.sin2x dx=2 ∫cos²x.sinxdx

Đặt cosx = u => -sinxdx=du => sinxdx=-du. Ta có:

\(F\left( x \right) = 2\int {{u^2}.\left( { - du} \right)}  =  - 2\int {{u^2}du} \) \( =  - \frac{2}{3}{u^3} + C =  - \frac{2}{3}{\cos ^3}u + C\)

LG c

\(y = {x \over {{{\cos }^2}x}}\)

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = \tan x \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \int {{x \over {{{\cos }^2}x}}} dx = x\tan x - \int {\tan xdx } \cr 
& = x\tan x - \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \cr &= x\tan x + \int {{{d(cosx)} \over {cosx}}} \cr &= x\tan x + \ln |cosx| + C \cr} \)