Câu 4.13 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm số phức z thỏa mãn

                           \({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^4} = 1\)

Lời giải chi tiết

\({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {{{\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)}^2} + 1} \right] = 0\)

Dễ thấy :

\({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {{z + i} \over {z - i}} =  \pm 1 \Leftrightarrow z = 0\)

\({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} - {i^2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {{{z + i} \over {z - i}} - i} \right)\left( {{{z + i} \over {z - i}} + i} \right) = 0\)

\(z = 1\)  hoặc \(z =  - 1\)

Vậy các số z cần tìm là 0 , 1 ,-1.