Câu 4.10 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

                            \(\left| {{z \over {z - i}}} \right| = k\)

(k là số thực dương cho trước)

Lời giải chi tiết

Viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì

\(\left| {{z \over {z - i}}} \right| = \left| {{{x + yi} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}}} \right| = k \Leftrightarrow {{{x^2} + {y^2}} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {k^2}\)

- Nếu \(k = 1\)  thì đẳng thức cuối này tương đương với \(y = {1 \over 2}.\). Tập hợp cần tìm là đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) (đường trung trực của đoạn thẳng OI, I biểu diễn số i)

- Nếu \(k \ne 1\) thì đẳng thức cuối đó tương đương với

\({x^2} + {y^2} - 2{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}y + {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}} = 0\)

Tức là tương đương với

\({x^2} + {\left( {y - {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right)^2} = {{{k^2}} \over {{{\left( {{k^2} - 1} \right)}^2}}}\)

Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \({{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}i,\) có bán kính bằng \(\left| {{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right|\)