Câu 2.4 trang 70 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Hãy chứng minh các tính chất sau đây của căn bậc n dựa vào tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương:

LG a

Cho n là một số nguyên dương, k là một số nguyên. Khi đó, với hai số không âm a và b, ta có

1)  \(\root n \of {ab}  = \root n \of a .\root n \of b \)

2) \(\root n \of {{a \over b}}  = {{\root n \of a } \over {\root n \of b }}\)                   \(\left( {b \ne 0} \right)\)

3) \(\root n \of {\root k \of a }  = \root {nk} \of a \)               \(\left( {k > 0} \right)\)

4) \(\root n \of a  = \root {nk} \of {{a^k}} \)                 \(\left( {k > 0} \right)\)

5) \({\root {n} \of {a^k }={ \left( {\root n \of a } \right)} ^k}\)       \((a \ne 0\) nếu \(k \le 0)\)

Lời giải chi tiết:

1) Lũy thừa bậc n hai vế ta được: \(ab=ab\) (luôn đúng)

2) Lũy thừa bậc n hai vế ta được: \({a \over b} = {a \over b}\) (luôn đúng)

3) Lũy thừa bậc nk hai vế ta được: \(a=a\) (luôn đúng)

4) Lũy thừa bậc nk hai vế ta được: \(a^k=a^k\) (luôn đúng)

5) Sử dụng 1) khi a = b và quy nạp theo k

LG b

Đối với hai số a, b tùy ý mà  \(0 \le a \le b\) và n nguyên dương, ta có

  \(\root n \of a  < \root n \of b \)

Lời giải chi tiết:

Do \(0 \le a \le b\) nên \(\root n \of a  \ge 0;\root n \of b  > 0\)

Giả sử \(\root n \of a  \ge \root n \of b \), suy ra \({\left( {\root n \of a } \right)^n} \ge {\left( {\root n \of b } \right)^n}\) vì n > 0, hay \(a \ge b\). Điều này mâu thuẫn với giải thiết a < b.

Vậy  \(\root n \of a  < \root n \of b \)

Loigiaihaycom