Câu 2.115 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

GIải các hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ \matrix{{2^x} + {5^{x + y}} = 7 \hfill \cr {2^{x - 1}}{.5^{x + y}} = 5 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {2^x},v = {5^{x + y}}(u > 0,v > 0)\), ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{u + v = 7 \hfill \cr uv = 10 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {{{\log }_2}5;{{\log }_5}2 - {{\log }_2}5} \right),\left( {1;0} \right)\)

LG b

\(\left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _5}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \pm y > 0\) . Khi đó

\(\left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr{\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _5}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _3}\left( {x + y} \right) + {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr{\log _3}\left( {x + y} \right) - {{{{\log }_3}\left( {x - y} \right)} \over {{{\log }_3}5}} = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Tiếp theo, đặt \(u = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) và \(v = {\log _3}\left( {x - y} \right) \) , ta có hệ

\(\left\{ \matrix{u + v = 1 \hfill \cr u - {v \over {{{\log }_3}5}} = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Giải hệ ta được \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)