Bài 1.25 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (h.1.2). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Gọi x (mét) là độ dài cạnh BC.

LG a

Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC có \(AB = AC = 5,BC = x\).

Nửa chu vi: \(p = \frac{{5 + 5 + x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}\)

Diện tích:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}}\\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}\left( {\frac{{10 + x}}{2} - x} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)} \\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}.\frac{{10 - x}}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}} \\ = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} \end{array}\)

Thể tích lăng trụ:

\(V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} .20\) \( = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \)

Vậy \(V = 5x\sqrt {100 - {x^2}}(m^3) ,\) \(0 < x < 10\)

LG b

Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm \(V\left( x \right) = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;10} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}V'\left( x \right) = 5\sqrt {100 - {x^2}}  + 5x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = 5\sqrt {100 - {x^2}}  - \frac{{5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{5\left( {100 - {x^2}} \right) - 5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt 2  \in \left( {0;10} \right)\\x =  - 5\sqrt 2  \notin \left( {0;10} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi \(x = 5\sqrt 2 \) (m)

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} {\rm{V  =  V}}\left( {5\sqrt 2 } \right)=250(m^3)\)