Bài 1.23 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc \(\alpha  = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1)

Lời giải chi tiết

Dựng \(AH \bot CD\).

Đặt \(x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi  \over 2}\) , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.

Diện tích hình thang là

\(S = {{AB + CD} \over 2}AH \)

\(= (1 + \cos x)\sin x\)

với \(0 < x < {\pi  \over 2}\)

Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}S'\left( x \right) =  - {\sin ^2}x + \left( {1 + \cos x} \right)\cos x\\ = {\cos ^2}x - 1 + \cos x + {\cos ^2}x\\ = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\\ = \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right)\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\).

BBT:

Hình thang có diện tích lớn nhất khi \(\alpha  = {{2\pi } \over 3}\) .

Khi đó diện tích hình thang là \(S = {{3\sqrt 3 } \over 4}({m^2})\)