Bài tập 19 trang 91 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là tring điểm trên cạnh Ac. Kẻ \(MD \bot BC\)

a) Chứng minh rằng tam giác DMC đồng dạng với tam giác ABC.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng MD. Chứng minh rằng tam giác DBE đồng dạng với tam giác DMC.

c) Đường thẳng BM cắt EC ở K. Chứng minh rằng \(\Delta MEK \sim MBD\)

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆DMC và ∆ABC có: \(\widehat C\) (chung) và \(\widehat {MDC} = \widehat {BAC}( = 90^\circ ) \)

\(\Rightarrow \Delta DMC \sim \Delta ABC(g.g)\)

b) Xét ∆DBE và ∆DMC có \(\widehat {BDE} = \widehat {MDC}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {DEB} = \widehat {DCM}\) (cùng phụ với góc B)

\( \Rightarrow \Delta DBE \sim \Delta DMC(g.g)\)

c) Xét ∆BEC có ED và CA cắt nhau tại M (gt), ED là đường cao \((MD \bot BC,E \in DM)\)

Và CA là đường cao \((CA \bot BE\) tại A)

Suy ra M là trực tâm của tam giác BEC

Nên BK là đường cao của ∆BEC

\( \Rightarrow BK \bot EC\) tại K

Xét ∆MEK và ∆MBD có:

\(\widehat {EMK} = \widehat {BMD}\) (hai góc đối đỉnh) và \(\widehat {EKM} = \widehat {MDB}( = 90^\circ ) \)

\(\Rightarrow \Delta MEK \sim \Delta MBD(g.g)\)