Bài 7 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là

\({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN hay G là trọng tâm tam giác. Ta có:

\(\begin{array}{l}
BG = \frac{2}{3}BM\\
\Rightarrow B{G^2} = \frac{4}{9}B{M^2}\\
= \frac{4}{9}.\left( {\frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
CG = \frac{2}{3}CN\\
\Rightarrow C{G^2} = \frac{4}{9}C{N^2}\\
= \frac{4}{9}.\left( {\frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{B{A^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) - B{A^2}}}{9}
\end{array}\)

Do đó \(BM \bot CN \Leftrightarrow BG \bot CG\)

\( \Leftrightarrow \Delta BGC\) vuông tại G

\(\Leftrightarrow \,\,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9} + \frac{{2\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{2B{A^2} + 2B{C^2} - A{C^2} + 2C{A^2} + 2C{B^2} - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2} = 9B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\\
\Rightarrow {c^2} + {b^2} = 5{a^2}
\end{array}\)

Cách khác: