Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

LG a

Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \cr&= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr 
&= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} )^2} \cr 
&  = {\overrightarrow {GA} ^2} - 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GB} ^2} - 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2}\cr&= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {GM} ^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr 
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)

LG b

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng câu a), ta có

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\)

\( \Leftrightarrow 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {k^2}\)

\(\Leftrightarrow 3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})}}{3}\)

+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).

+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).

+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.