Giải bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e  = (4\,;\,1)\) và \(\overrightarrow f  = (1\,;\,4)\).

LG a

Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \).

Lời giải chi tiết:

Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \)

\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} \cr&= {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr 
& \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56'} \cr} \)

LG b

Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {e\,}  + m\overrightarrow {f\,}  = (4 + m\,;\,1 + 4m)\).

Trục hoành Ox có véc tơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right)\) nên:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\)

\(\Leftrightarrow m =  - 4\) 

LG c

Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b  = n\overrightarrow e  + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\cr&\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr 
& (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\cr&\Rightarrow \cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,.\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr 
&  \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr 
&  \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{5n + 5}}{{\sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}} .\sqrt 2 }} \cr&\Rightarrow \sqrt 2 .\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}}  = 2.\left( {5n + 5} \right)\cr&  \Rightarrow \sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}}  = 5n + 5\cr&\Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr 
& \Leftrightarrow 16{n^2} + 8n + 1 + {n^2} + 8n + 16 = 25{n^2} + 50n + 25\cr& \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\cr&\Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr} \)

Thử lại với \(n =  - 4\) ta có \(\overrightarrow b  = ( - 15\,;\,0)\).

\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j )\)\( = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại)

Với \(n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b  = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)\)

\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận).

Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\).