Bài 1 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao

Chứng minh các công thức sau

LG a

\(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 2}\left( {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - \overrightarrow {|a}  - \overrightarrow b {|^2}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng chú ý \({\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}\) để tính \({\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2}\).

Từ đó suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(|\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2}\)

\(= \overrightarrow a {^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + \overrightarrow b {^2}\)

\( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow a \overrightarrow b  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 2}(|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2})\)

LG b

\(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {|\overrightarrow a  + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(|\overrightarrow a  + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2} \)

\(= {(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} - {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2}\)           

\(\begin{array}{l}
= \left( {{{\overrightarrow a }^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {{\overrightarrow b }^2}} \right) - \left( {{{\overrightarrow a }^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {{\overrightarrow b }^2}} \right)\\
= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b - {\overrightarrow b ^2}\\
= 4\overrightarrow a \overrightarrow b \\
\Rightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = 4\overrightarrow a \overrightarrow b \\
\Rightarrow \overrightarrow a \overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)
\end{array}\)