Bài 10 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

LG a

\(\cot A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}}\) ( S là diện tích tam giác ABC)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\cr&S = {1 \over 2}bc\sin A \Rightarrow bc\sin A = 2S\cr 
& \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc\sin A}} \cr& = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.2S}}= {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} \cr} \)

LG b

\(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự câu a), ta có

\(\eqalign{
& \cot B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}}\cr&\cot C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr 
& \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr 
&   = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} + {a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\cr&= \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr} \)