Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và AB'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'.

Chứng minh rằng

LG a

\(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh các đường thẳng vuông góc, ta thực hiện nhân vô hướng các véc tơ và kiểm tra tích đó bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vì I là trung điểm BB' và J là trung điểm CC' nên:

\(\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{B'}} )\)

\(\overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} \cr&= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}}  = 0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} } \right)\)

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr 
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr} \)

Do ABC, AB’C’ vuông cân tại A nên AC’=AC,AB’=AB

Lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC'} = \widehat {BAB'} + \widehat {B'AC'} = \widehat {BAB'} + {90^0}\\\widehat {B'AC} = \widehat {B'AB} + \widehat {BAC} = \widehat {B'AB} + {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAC'} = \widehat {B'AC}\\ \Rightarrow \cos \widehat {BAC'} = \cos \widehat {B'AC}\end{array}\)

Do đó,

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = 0 \Leftrightarrow AI \bot CC'\)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} \)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} )\cr 
& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0\cr&\Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)

LG b

\(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} \cr&= (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr 
& = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)

\( = \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} \)

(vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\))

\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}  = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}}\)\(  = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)

\(=  - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  \)\(=  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  = 0\)

Suy ra \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).