Bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho


Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có O là trung điểm AC và BD.

Do đó 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\
\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0
\end{array}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\cr& = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr 
& = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr& + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr 
& = {\overrightarrow {OA} ^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OB} ^2} - 2\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OC} ^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr& + {\overrightarrow {OD} ^2} - 2\overrightarrow {OD} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2}\cr& = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr&  - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr 
& = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr& = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)

(vì OA=OC, OB=OD)

Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\)

\(\Leftrightarrow 4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\)

\( \Leftrightarrow O{M^2} = \frac{{{k^2} - 2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)}}{4}\)

+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).

+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).

+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.

Bài giải tiếp theo
Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 5 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Giải bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 7 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 8 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 9 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 10 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 11 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao

Video liên quan



Từ khóa