Bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có O là trung điểm AC và BD.

Do đó 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\
\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0
\end{array}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\cr& = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr 
& = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr& + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr 
& = {\overrightarrow {OA} ^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OB} ^2} - 2\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OC} ^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr& + {\overrightarrow {OD} ^2} - 2\overrightarrow {OD} .\overrightarrow {OM}  + {\overrightarrow {OM} ^2}\cr& = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr&  - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr 
& = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr& = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)

(vì OA=OC, OB=OD)

Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\)

\(\Leftrightarrow 4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\)

\( \Leftrightarrow O{M^2} = \frac{{{k^2} - 2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)}}{4}\)

+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).

+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).

+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.