Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(3x + 5y - z -2 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \matrix{x = 12 + 4t \hfill \cr y = 9 + 3t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)

LG a

Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\).

Phương pháp giải:

Tham số hóa tọa độ điểm M dạng \(M\left( {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right)\), thay điểm M vào phương trình mặt phẳng \(\alpha\).

Lời giải chi tiết:

Vì \( M \in d\) nên \(M\left( {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right)\), thay vào phương trình \((α)\), ta có: \(3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0\)

\(\Rightarrow 26t + 78 = 0\) \( \Rightarrow  t = - 3\) \( \Rightarrow  M(0; 0; - 2)\).

LG b

Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) chứa điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Phương pháp giải:

\(\left( \beta  \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( \beta  \right)}} = {\overrightarrow u _{\left( d \right)}}\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua N và nhận \({\overrightarrow u _{\left( d \right)}}\) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow u (4; 3; 1)\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(0; 0; -2) ∈ (β)\) nên phương trình \((β)\) có dạng:

\(4(x - 0) + 3(y - 0) + (z + 2) = 0\)

hay \(4x + 3y + z + 2 = 0\)