Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).

LG a

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).

Phương pháp giải:

+ Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Qua B kẻ \(BD \bot SA\), chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là \((BCD)\).

+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\).

Giải chi tiết:

Vì hình chóp \(\displaystyle S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(\displaystyle H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(\displaystyle SAH = 60^0\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle BC\) thì \(\displaystyle AM\) là đường cao của tam giác đều \(\displaystyle ABC\):

\(\displaystyle AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \(\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)

Xét tam giác vuông SBM ta có: \(\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Qua B kẻ \(\displaystyle BD \bot SA\), khi đó ta có: 

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

\(\displaystyle SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)

Xét tam giác vuông ADM có: \(\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\)

Xét tam giác vuông SDM có: \(\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\(\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \) \(\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

LG b

b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).

Phương pháp giải:

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) sau đó tính thể tích khối chóp \(S.DBC\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle S_{ABC}\) = \(\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\);    \(\displaystyle SH = AH.tan60^0 = a\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\(\displaystyle {V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)