Bài 6 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình:

a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;

b) \(\cos x = x\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Ta có:

\(f\left( 0 \right) = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\)

\(f\left( 1 \right) = {2.1^3} - 6.1 + 1 =  - 3;\)

\(f\left( { - 2} \right) = 2.{\left( { - 2} \right)^3} - 6.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 3\)

+) \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_0 \in (0; 1)\).

+) \(f\left( 0 \right).f\left( -2 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_1 \in (-2; 0)\).

Mà \(\left( {0;1} \right) \cup \left( { - 2;0} \right) = \emptyset  \Rightarrow x_0 \ne x_1 \Rightarrow \) phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.

b) \(\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \cos x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Ta có:

\(g\left( 0 \right) = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\)

\(g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} =  - \dfrac{\pi }{2}\)

\(g\left( 0 \right).g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - \dfrac{\pi }{2} < 0\) nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \((0; \dfrac{\pi }{2})\).