Bài 2 trang 99 SGK Đại số 10

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.

LG a

\(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3; \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Ta biểu diễn hình học tập nghiệm của từng bất phương trình của hệ, nghiệm chung của chúng chính là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c} \right)\)

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.

Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh  \(a{x_0} + b{y_0}\) với c.

Bước 4: Kết luận:

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0} \le c\).

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0}  \ge  c\).

Lời giải chi tiết:

Ta vẽ các đường thẳng x – 2y = 0 (\(d_1\)) ; x + 3y = –2 (\(d_2\)) ; –x + y = 3 (\(d_3\)).

Điểm A(–1; 0) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta gạch đi các nửa mặt phẳng bờ (\(d_1\)); (\(d_2\)); (\(d_3\)) không chứa điểm A.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên dưới (không kể các bờ).

LG b

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-1<0\\ x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0. \end{matrix}\right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 < 0\\
x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{{3y}}{2} \le 2\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2x + 3y - 6}}{6} < 0\\
\dfrac{{2x + 1 - 3y - 4}}{2} \le 0\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - 6 < 0\\
2x - 3y - 3 \le 0\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y < 6\\
2x - 3y \le 3\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Ta vẽ các đường thẳng 2x + 3y = 6 (\(d_1\)); 2x – 3y = 3 (\(d_2\)); x = 0 (trục tung).

Điểm B(1; 0) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta gạch đi các nửa mặt phẳng bờ (\(d_1\)); (\(d_2\)) và trục tung không chứa điểm B.

Miền không bị gạch chéo (tam giác MNP, kể cả cạnh MP và NP, không kể cạnh MN) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.