Bài 18 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.
a) Chứng minh \(AO \bot BC\) .
b) Giả sử \(AB = R\sqrt 3 \), AO cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại I. Chứng minh tam giác ABC đều và tính độ dài AH.
c) Vẽ dây IE // AC, IF // AB (E, F là các điểm trên đường tròn O). Chứng minh tam giác IEF cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC.
b) Chứng minh tam giác ABI vuông, tính độ dài BI, từ đó tính BH.
Chứng minh H là trung điểm của BC \( \Rightarrow BC = 2BH\).
c) Chứng minh \(cung\,AE = cung\,AF \Rightarrow cung\,IE = cung\,IF \Rightarrow IE = IF \Rightarrow \Delta IEF\)
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A\( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của BC.
Vì \(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của BC.
\( \Rightarrow AO\) là trung trực của BC \( \Rightarrow AO \bot BC\).
b) Xét tam giác ABI có \(BO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ABI\) vuông tại B (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Xét tam giác vuông ABI có: \(B{I^2} = A{I^2} - A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} - {R^2} \)
\(\Rightarrow BI = R\) (Định lí Pytago).
Tam giác ABC cân tại A có \(AO \bot BC \Rightarrow AI \bot BC\) tại H và H là trung điểm của BC.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABI có :
\(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{I^2}}} = \dfrac{1}{{3{R^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}} = \dfrac{4}{{3{R^2}}}\)
\(\Rightarrow BH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\)
Vì H là trung điểm của BC\( \Rightarrow BC = 2BH = R\sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) có \(AB = AC = BC = R\sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {ABH} = {60^0}\).
Xét tam giác vuông ABH có : \(AH = AB.\sin {60^0} = R\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\).
c) Ta có \(CO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ACI\)vuông tại C (Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACI có :
\(CI = \sqrt {A{I^2} - A{C^2}} \)\(\;= \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {{R^2}} = R\)
\( \Rightarrow BI = CI = R \Rightarrow cung\,BI = cung\,CI\)
Vì IE // AC \( \Rightarrow cung\,AE = cung\,CI\). Vì IF // AB \( \Rightarrow cung\,AF = cung\,BI\)
Do đó \(cung\,AE = cung\,AF \Rightarrow cung\,IE = cung\,IF\)
\(\Rightarrow IE = IF \Rightarrow \Delta IEF\) cân tại I.
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 18 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2 timdapan.com"
