Bài 17 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn (O; R) lấy 4 điểm theo thứ tự A, B, C, D sao cho \(cung\,AB = cung\,BC = cung\,CD = cung\,DA.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình vuông.

b) Tính cạnh của hình vuông theo R.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(cung\,AB = cung\,BC = cung\,CD = cung\,DA \)

\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA \Rightarrow \) ABCD là hình thoi.

Xét tam giác ABC có \(BO = \dfrac{1}{2}AC = R \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B (Trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} \Rightarrow ABCD\) là hình vuông (Hình thoi có 1 góc vuông).

b) Vì ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại O.

Lại có \(OA = OB = R\).

Áp dụng định lí Pytago ta có : \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{R^2} + {R^2}} \)\(\, = \sqrt {2{R^2}}  = R\sqrt 2 \).