Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong các trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\), với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\).

b) \(\tan \alpha  = \frac{5}{{12}}\), với \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\)

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ I. Do đó \(\sin \alpha  > 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\( \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 2 ,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

b) Ta có: \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{144}}{{169}}\end{array}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc phần tư thứ III. Do đó \(\cos \alpha  < 0\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{5}{{13}}\).