Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa

Hàm số \(f\) xác định trên \(K\). Với mọi \(x_1, x_2\) thuộc \(K: x_1 > x_2\) Nếu \(f(x_1)>f(x_2)\) thì \(f\) tăng trên \(K\); nếu \(f(x_1)<f(x_2)\) thì \(f\) giảm trên \(K\).

Chú ý:

-    Hàm số tăng hoặc giảm trên \(K\) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên \(K\).

-    \(K\) có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Điểu kiện cần đế hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(K\):

-    Nếu \(f\) tăng trên \(K\) thì f'(x)>0, với mọi \(x\) thuộc \(K\).

-    Nếu \(f\) giảm trên \(K\) thì f'(x)< 0, với mọi \(x\) thuộc \(K\).

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm sổ \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(K\):

-    Nếu f'(x) >0 với mọi \(x\) thuộc \(K\) thì \(f\) tăng trên \(K\).

-    Nếu f'(x)<0 với mọi \(x\) thuộc \(K\) thì \(f\) giảm trên \(K\).

Chú ý: Nếu f'(x) ≥ 0 \(\forall x \in K\) (hoặc f’(x) ≤ 0, \(\forall x \in K\)) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\) thì hàm số \(f\) tăng (hoặc giảm) trên \(K\).