Lý thuyết tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(A\) tùy ý, vẽ \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{b}\). Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).

\(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\).

2. Quy tắc hình bình hành 

Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì 

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\).

3. Tính chất của tổng các vectơ

- Tính chất giao hoán \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) = \(\overrightarrow{b}\) + \(\overrightarrow{a}\)

- Tính chất kết hợp (\(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) ) + \(\overrightarrow{c}\) = \(\overrightarrow{a}\) + (\(\overrightarrow{b}\) +\(\overrightarrow{c}\))

- Tính chất của \(\overrightarrow{0}\): \(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{0}\) = \(\overrightarrow{0}\) + \(\overrightarrow{a}\).

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ \(\overrightarrow{a}\) được gọi là vec tơ đối của vec tơ \(\overrightarrow{a}\), kí hiệu - \(\overrightarrow{a}\).

Vec tơ đối của \(\overrightarrow{0}\) là vectơ \(\overrightarrow{0}\).

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\). Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu \(\overrightarrow{a}\)- \(\overrightarrow{b}\) là vectơ \(\overrightarrow{a}\) + (-\(\overrightarrow{b}\))

                  \(\overrightarrow{a}\)- \(\overrightarrow{b}\) = \(\overrightarrow{a}\) + (-\(\overrightarrow{b}\)).

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có 

                  \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{AC}\)           (1)

                   \(\overrightarrow{AB}\) - \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{CB}\)             (2)

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng⇔  \(\overrightarrow{IA}\) +\(\overrightarrow{IB}\) = \(\overrightarrow{0}\)

b) Trọng tâm của tam giác:

\(G\) là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔ \(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\)+\(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{0}\)