Bài 9 trang 12 SGK Hình học 10
Giải bài 9 trang 12 SGK Hình học 10. Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:
\(+ )\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\( + )\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
\(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);
\(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)
Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\) (1)
Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\) (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).
b) \(AD\) và \(BC\) có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).
\(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)
\(I\) là trung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}= \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 9 trang 12 SGK Hình học 10 timdapan.com"
