Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Các dạng phương trình lượng giác thường gặp

    Các phương trình lượng giác rất đa dạng, trong chương trình chỉ học một số dạng phương trình lượng giác đơn giản nhất 

2. Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

   Chỉ cần thực hiên hai phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x sang vế phải và đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một số khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

3. Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

    Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì thế giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

4. Phương pháp giải phương trình \(asinx + bcosx = c\)

   Chỉ cần xét trường hợp cả hai hệ số \(a, b\) đều khác \(0\) (trường hợp một trong hai hệ số đó bằng \(0\) thì phương trình cần giải là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (\(sinx\) hoặc \(cosx\)) đã biết cách giải.

   Cách 1: Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và gọi \(α\) là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto \(\overrightarrow {OM}  = (a;b)\) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải: \(\sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

  Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng \({a \over b}\sin x + \cos x = {c \over b}\) và đặt \(\alpha  = acr\tan {a \over b}\) thì \(\tan \alpha  = {a \over b}\) phương trình trở thành : 

\(\tan \alpha \sin x + \cos x = {c \over b} \Leftrightarrow \cos (x - a) = {{c.\cos \alpha } \over b}\)

    Phương trình này đã biết cách giải.

Chú ý : Để phương trình \(\sin (x + a) = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 

\(\left| {{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow {c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình \(asinx + bcosx = c\) có nghiệm.

5. Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

   Hệ thống các công thức lượng giác rất phong phú nên các phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. Sử dụng thành thạo các phép biến đổi lượng giác các em có thể đưa các phương trình cần giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với cosx và sinx :

\(a.sin^2x + b.sinx.cosx + cos^2x = d\)

có thể đưa về dạng phương trình bậc hai đối với \(tanx\) bằng cách chia phương trình cho \(cos^2x\). Chính vì sự đa dạng và phong phú ấy nên chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa phương pháp giải thông qua một số ví dụ điển hình và các em có thể nắm vững phương pháp giải thông qua nhiều bài tập.